LA CINTA DE MOEBIUS
August Ferdinand Möbius (17 de noviembre de 1790, Schulpforta, Sajonia, Alemania - 26
de septiembre de 1868, Leipzig) fue un matemático alemán y astrónomo teórico.
Es conocido por su descubrimiento de la banda de Möbius, junto al
matemático alemán Johann Benedict Listing. Möbius fue el primero en introducir
las coordenadas homogéneas en geometría proyectiva. La transformación
de Möbius, importante en geometría proyectiva, no debe ser confundida con la transformada
de Möbius, usada en teoría de números, que también lleva su nombre. Se interesó
también por la teoría de números, y la importante función aritmética
de Möbius y la fórmula de inversión de Möbius se nombran así por
él. Era descendiente de Martín Lutero.
Johann Benedict Listing (n. Francfort, 25
de julio de 1808 - f. Gotinga, 24 de diciembre de 1882)
fue un matemático alemán.
En 1830 ingresó en la Universidad de Gotinga,
donde fue alumno de Gauss. En 1834 expone su tesis titulada De
superficiebus secundi ordinis. Fue el primero en utilizar la palabra topología.
A partir de 1837 imparte clases de matemáticas en Hanóver,
recibiendo en 1839 la cátedra de física. En 1858 descubre
las propiedades topológicas de lo que actualmente se conoce con el nombre de Banda
de Möbius, de forma independiente a éste último. Listing se interesó también
por la geodesia y a él le debemos el término de geoide.
Banda de Möbius
Es una superficie con una sola cara y un solo borde.
Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es
una superficie reglada. Fue descubierta en 1858. La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:
- Es una superficie que sólo posee una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius,
comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda
la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara
interior y cara exterior.
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo,
apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad
del borde.
- Es
una superficie no orientable:
Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares
orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al
punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara
«tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una
vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.
Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos
resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.
Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la
cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda
se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras
dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una,
se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.
Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la
cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas
entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el
doble de longitud.
Aplicaciones de la banda de Moebius
Si pensamos en una cinta que tenga
que rodar sujeta por unos cilindros para pasar el movimiento giratorio de un
sitio a otro (como la correa de transmisión de un coche, o la cadena de una
bici). Al moverse, el rozamiento de la banda con los cilindros la va
desgastando. Si ponemos una cinta a modo de cilindro, se desgastaría únicamente
por la cara interior, quedando intacta la exterior. Pero si ponemos una banda
de Moebius, después de una vuelta, pasaría a estar en contacto lo que
podríamos llamar “el otro lado” que sería el que se rozaría en la segunda
vuelta. Así conseguimos que el desgaste se produzca por los lados y la banda
duraría el doble de tiempo. Esto ya se está haciendo en cintas transportadoras,
cintas de grabación (que así pueden grabar por las dos caras y, en
consecuencia, el doble de tiempo), etc.
Este vídeo realizado en clase de cultura científica nos muestra mejor sus propiedades y la realización de la cinta de Moebius: