Cultura Científica

LA CINTA DE MOEBIUS

August Ferdinand Möbius (17 de noviembre de 1790, Schulpforta, Sajonia, Alemania - 26 de septiembre de 1868, Leipzig) fue un matemático alemán y astrónomo teórico. Es conocido por su descubrimiento de la banda de Möbius, junto al matemático alemán Johann Benedict Listing. Möbius fue el primero en introducir las coordenadas homogéneas en geometría proyectiva. La transformación de Möbius, importante en geometría proyectiva, no debe ser confundida con la transformada de Möbius, usada en teoría de números, que también lleva su nombre. Se interesó también por la teoría de números, y la importante función aritmética de Möbius y la fórmula de inversión de Möbius se nombran así por él. Era descendiente de Martín Lutero.

Johann Benedict Listing (n. Francfort, 25 de julio de 1808 - f. Gotinga, 24 de diciembre de 1882) fue un matemático alemán.

En 1830 ingresó en la Universidad de Gotinga, donde fue alumno de Gauss. En 1834 expone su tesis titulada De superficiebus secundi ordinis. Fue el primero en utilizar la palabra topología.

A partir de 1837 imparte clases de matemáticas en Hanóver, recibiendo en 1839 la cátedra de física. En 1858 descubre las propiedades topológicas de lo que actualmente se conoce con el nombre de Banda de Möbius, de forma independiente a éste último. Listing se interesó también por la geodesia y a él le debemos el término de geoide.

Banda de Möbius

Es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta en 1858. La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

•    Es una superficie que sólo posee una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

• Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

• Es una superficie no orientable:

Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

• Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.

Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Aplicaciones de la banda de Moebius

Si pensamos en una cinta que tenga que rodar sujeta por unos cilindros para pasar el movimiento giratorio de un sitio a otro (como la correa de transmisión de un coche, o la cadena de una bici). Al moverse, el rozamiento de la banda con los cilindros la va desgastando. Si ponemos una cinta a modo de cilindro, se desgastaría únicamente por la cara interior, quedando intacta la exterior. Pero si ponemos una banda de Moebius, después de una vuelta, pasaría a estar en contacto lo que podríamos llamar “el otro lado” que sería el que se rozaría en la segunda vuelta. Así conseguimos que el desgaste se produzca por los lados y la banda duraría el doble de tiempo. Esto ya se está haciendo en cintas transportadoras, cintas de grabación (que así pueden grabar por las dos caras y, en consecuencia, el doble de tiempo), etc.

Este vídeo realizado en clase de cultura científica nos muestra mejor sus propiedades y la realización de la cinta de Moebius: